已知橢圓C以過(guò)點(diǎn)A（1，3/2），兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0）、（
已知橢圓C以過(guò)點(diǎn)A（1，3/2），兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0）、（1，
已知橢圓C以過(guò)點(diǎn)A（1，3/2），兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0）、（1，0）。
（1）求橢圓C的方程。
（2）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線(xiàn)EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。
正確答案： 考點(diǎn)：橢圓
解：（1）a²-b²=c² =1
設橢圓方程為x²/（b²+1）+y²/b²=1
將（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）
所以橢圓方程為x²/4+y²/3=1
（2）
設AE斜率為k
則AE方程為y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①，②聯(lián)立得出兩個(gè)解一個(gè)是A（1,3/2）另一個(gè)是E（x1，y1）
①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0
根據韋達定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③
將③的結果代入①式得
y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)
設AF斜率為-k，F（x2，y2）
則AF方程為y-（3/2）=-k（x-1）④
x²/4+y²/3=1 ②
②④聯(lián)立同樣解得
x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）
y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）
EF斜率為
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直線(xiàn)EF斜率為定值，這個(gè)定值是1/2。
補充練習：
源于查字典網(wǎng)
（1）求橢圓C的方程。
（2）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線(xiàn)EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。
正確答案： 考點(diǎn)：橢圓
解：（1）a²-b²=c² =1
設橢圓方程為x²/（b²+1）+y²/b²=1
將（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）
所以橢圓方程為x²/4+y²/3=1
（2）
設AE斜率為k
則AE方程為y-(3/2)=k(x-1)①
x²/4+y²/3=1 ②
①，②聯(lián)立得出兩個(gè)解一個(gè)是A（1,3/2）另一個(gè)是E（x1，y1）
①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0
根據韋達定理 x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③
將③的結果代入①式得
y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)
設AF斜率為-k，F（x2，y2）
則AF方程為y-（3/2）=-k（x-1）④
x²/4+y²/3=1 ②
②④聯(lián)立同樣解得
x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）
y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）
EF斜率為
（y2-y1）/(x2-x1)=1/2
所以直線(xiàn)EF斜率為定值，這個(gè)定值是1/2。
補充練習：
源于查字典網(wǎng)
